Kartenprojektionen - Gauß-Krüger-Projektion 2012 II

1912 – 2012. Geburtstagsbilder für eine Hundertjährige II.

Gauß-Krüger 1912 [Gauß-Krüger 1912]

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Gauß-Krüger-Projektion I (Hauptseite)

Divergenz zum Anfassen

Die Fortsetzung der Gauß-Krüger-Hauptseite.

Noch ein paar Bilder. Stimmt unsere auf der Gauß-Krüger-Hauptseite vorgestellte Entwicklung? Denn bei so Reihen weiß man ja nie. Man kann die Ergebnisse glauben. Aber kann man es auch sehen, dass alles richtig ist?

Fehleranalyse hört man hier den Geometer mumeln. Nichts ist nervtötender und demotivierender. Da hat man alles berechnet und könnte zufrieden sein. Statt dessen muss man nun noch einmal rechnen, um die Zufriedenheit nun bestenfalls lediglich – nicht zu zerstören. Und alles hängt an einem hässlichen kleinen Zahlenwert, Sigma=0,00004002 beispielsweise. Der dazu noch einigermaßen langweilig ist. Denn diese Sigmas sind immer irgendsoetwas mit Null-Komma-Null und dann eben – dem Fehler.

Nicht soviel rechnen! Bilder verarbeiten. Es ist ganz einfach. Und das Ergebnis ist nicht demotivierend. Man kann in den Bildern lesen und so gleichsam in den Formeln bildhaft herumerkunden. Wir nehmen einfach das Sollbild von der Gauß-Krüger-Hauptseite (dort ganz unten):

Und von diesem ziehen wird nacheinander die Einzelbilder der Reihenentwicklung (auch „Partialsummenbilder“ genannt) ab. Im Ergebnis entstehen Abbildungen, die überall dort, wo die Reihe konvergiert, ein homogenes Mittelgrau zeigen.

Abweichungen in die eine oder andere Richtung erscheinen jeweils entweder in warmen Gelb-Orange-Brauntönen oder in kalten Cyan-Blautönen. Das sind dann die Fehler. So sind dann die Gitternetzlinien des Sollbildes in hellblau auszumachen. Und je weiter diese von den braunen Ist-Gitterlinien weglaufen – divergieren – desto größer der Fehler. Sozusagen Divergenz zum Anfassen.

Absolutglied, Fehler der Approximation „nullter Ordnung“. Am Kap der Guten Hoffnung und an Madagaskar sind deutlich Lageunterschiede auszumachen. In Brauntönen deutlich erkennbar: Die Gitternetzlinien der quadratischen Plattkarte ...

1. Potenz, Fehler der linearen Approximation. In Brauntönen im Hintergrund die Gitternetzlinien des Mercator-Sanson-Entwurfes ...

2. Potenz, Fehler der quadratischen Approximation. Bitte den Homogen-Graubereich in den jeweiligen Bildmitten vergleichen. Dieser wird immer größer, was nichts anderes bedeutet, als dass die Reihe mit hinzutretenden Gliedern immer besser und weiter konvergiert ...

3. Potenz, Fehler der kubischen Approximation, wieder etwas mehr Graufläche im Karteninneren ...

4. Potenz, Fehler der „quadronischen“ Approximation ...

Hoppla, da flutscht Madagaskar aber weg. Wohingegen aber das Kap der Guten Hoffnung vom Grau des größer gewordenen Konvergenzbereiches gleichsam verschluckt wurde.

5. Potenz, Fehler der „quintonischen“ Approximation ...

6. Potenz ...

7. Potenz ...

8. Potenz ...

Der „fehlerfreie“ Graubereich im Karteninneren ist ganz schön groß geworden.

Nun, Louis Krüger hat ja bekanntermaßen ganz schön viel Fehleranalyse betrieben. Motivation hin oder her. Wahrscheinlich hat er dabei herausbekommen, dass sein Gauß-Krüger ohnehin nur bis etwa 45° konvergiert. Und es daher wenig Sinn hat, mehr, als 8 Glieder zu rechnen.

Und das vor 100 Jahren. Mit der Logarithmentafel.

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Gauß-Krüger-Projektion I (Hauptseite)


Die 0,00004002 waren übrigens der mittlere Fehler von α, mit dem Bessel sein erstes Ellipsoid (das von 1837, nicht das berühmte von 1841) berechnet hat.