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Hintergrund: Die natürliche Äquivalenz von Winkel- und Flächenverzerrungen

Back Ground: The Natural Equivalence of Areal and Angular Distortion

Die Lösung von Bernhard Jennys Aufgabe

Eine Karte kann niemals die Erde ohne Verzerrungen in die Ebene abbilden. Man kann allerdings die Abbildung so wählen, dass entweder alle Winkel oder alle Flächen richtig abgebildet werden. Die Karte kann also entweder winkeltreu oder flächentreu sein.

Praktisch ist es oft, einen zwischen Winkeltreue und Flächentreue liegenden Entwurf zu wählen, denn dann werden die Winkel weniger verzerrt, als in einem flächentreuen Entwurf und die Flächen nicht so stark, wie in einem winkeltreuen Entwurf. Für viele Zwecke wäre es am besten, man wähle einen Kartenentwurf exakt in der Mitte – so, dass dass Maß der Flächenverzerrungen gleich dem Maß der Winkelverzerrungen wäre.

Da haben wir aber ein Problem, denn Äpfel lassen sich nicht mit Birnen vergleichen – und Flächenquadratmeter nicht mit Winkelgraden. Eine direkte Umrechnung ist also nicht möglich.

Eine subjektive Lösung??

Eine Lösung der empirischen Kartographie (W. G. Koch) könnte es nun sein, verschiedene Karten von Kartennutzern betrachten und Bewertungen vornehmen zu lassen. Im Ergebnis könnte etwa eine Äquivalenz von 200 % Flächenverzerrung und 40° empirisch festgestellt werden. Das Ergebnis wäre allerdings hypothesenbehaftet und kaum völlig objektivierbar.

Eine exakte Lösung

Verzerrungen können analysiert werden. Eine Methode hierfür ist es, zu beobachten, wie sich ein kleiner Kreis auf der Erde bei einer Abbildung in die Karte verändert. Das Resultat ist immer eine kleine Ellipse – die Tissotellipse. Diese Tissotellipsen haben nun Flächen und ein Winkel im Urbildkreis bildet sich auch in der Tissotellipse als Winkel ab.

Wäre das nicht eine mögliche Herangehensweise? – Dieser Gedanke hat mich nicht losgelassen, bis ich die Lösung hatte: Die natürliche Äquivalenz von Winkel- und Flächenverzerrungen. Hier das Ergebnis.

Wie man sieht, entspricht eine Flächenverzerrung von 400 % einer Winkelverzerrung von 36,87°. Bei einer Längenverzerrung auf das Achtfache entstehen 64fach vergrößerte Flächen. Das entspricht einer Winkelverzerrung von 75,75°. Das ist zugleich eine ungefähre Grenze, die der Praktiker nicht überschreiten sollte. Jenseits von 6400 % Fläche und 75 ° Winkelverzerrungen beginnt der Bereich der nur noch für Theoretiker interessant ist. Und nahe 90° wird es dann ganz akademisch, hier beginnt der Bereich der Abbildung der Erdoberfläche auf einen Bindfaden.

Zu den benutzten Formeln siehe die Excel-Datei, mit der die Tabelle erstellt wurde.


Ich bedanke mich bei Bernhard Jenny, ETH Zürich für die Anregung zu diesen Überlegungen. Jenny suchte bei der Implementierung seines Flex Projectors nach einem Wert, der als „globale“ Verzerrungsschranke geeignet ist. Aus der Literatur (z. B. Bugayevskiy/Snyder 1998) bekannte Kriterien, wie z. B. die Kriterien nach Airy, Airy-Kavrayskiy, Jordan, Klingach, Konusova etc. lehnt er ab, weil diese doch sehr speziell sind. Flächenverzerrung und Winkelverzerrung wären da viel anschaulicher ... so folgte er einer Anregung Čapeks ... wenn man sie nur auf ein gemeinsames Maß bringen könnte ...

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